Автор популярной головоломки предложил новый вариант классической задачи Монти Холла, в котором мотивация игрока меняет оптимальную стратегию. В оригинальной версии игрок выбирает одну из трёх дверей: за одной — автомобиль, за двумя — козы. Ведущий открывает одну из не выбранных дверей, за которой гарантированно коза, и предлагает переключиться.
Классический вывод и новый контекст
В стандартной формулировке смена выбора повышает шансы выиграть автомобиль с 1/3 до 2/3. В новом варианте игрок тайно знает, что одна из коз — очень ценная «золотая» коза, за которую владелец готов заплатить намного больше стоимости автомобиля. Ведущий этого не знает.
После того как игрок делает первоначальный выбор, ведущий открывает одну дверь, которую он знает не содержит автомобиль, и показывает, что за ней обычная коза. Затем предлагает перейти на оставшуюся закрытую дверь. Вопрос: стоит ли менять выбор, если цель — заполучить именно ценную козу?
Анализ через частоты
Самый наглядный способ объяснить ответ — рассмотреть большое число повторений игры. Автор приводит пример с 3 000 проведённых партий, где каждая из трёх возможных начальных позиций (автомобиль, обычная коза, золотая коза) встречается в среднем по 1 000 раз.
- Если изначально выбран автомобиль (1 000 игр), то ведущий случайно откроет дверь с обычной козой в 500 из этих игр.
- Если изначально выбрана обычная коза (1 000 игр), ведущий никогда не откроет дверь с обычной козой (0 игр).
- Если изначально выбрана золотая коза (1 000 игр), то ведущий откроет дверь с обычной козой во всех 1 000 случаях.
В сумме ведущий откроет дверь с обычной козой 1 500 раз. В этих ситуациях, если игрок останется при первоначальном выборе, он выиграет золотую козу в 1 000 случаях (вероятность 2/3). Если игрок всегда будет менять выбор, он получит золотую козу только в 500 случаях (вероятность 1/3).
Выводы и практическое значение
Итог парадоксален: когда цель — выиграть автомобиль, имеет смысл менять выбор; но когда цель — заполучить редкую козу, выгоднее оставить первоначальный выбор. Разница возникает из-за распределения событий и информации, которую даёт ведущий своим действием.
Автор отмечает, что это объяснение наиболее наглядно через частотный подход и обещает вернуться с новой задачей через две недели. Также сделан кредит раннему источнику этой вариации и упомянуто имя Henk Tijms, который указал на идею.
